NS I B 数学の方法

この授業について :

• 目的・内容
• 受講者の皆さんへのひとこと
• 数学学力調査および結果
• 授業の反省点：２００１年度、２００２年度、２００４年度、２００７年度
• 受講生からのコメント

目 的

内容

受講者の皆さんへのひとこと

しかし、大学での一般教育科目または自然科学系以外の学生向けの数学として果たしてこれだけで良いのかと疑問を常に持っていました。線形代数や、微分積分といった数学においても基礎的な学問は、数学のみに限らず、自然科学を学ぶ時の必須の数学的手段（道具）であるだけでなく、社会科学を学ぶ時にも、さらに広く政治・経済・企業経営などの実務の面においても必要欠くべからざる道具であり、数学を利用することにより広がる世界がたくさんあることは、周知の通りです。世界広しと言えども、数学の試験なしに大学で学ぶ機会を与えられるのは、日本以外ではほんのいくつかの国のごく少数の分野に限られることは、上記の事実の受け止め方が日本では異常な状態にあることを示していると思います。ものを合理的・科学的に考えようとする場合には、数学あるいは、数学的な考え方を避けて通ることは、あり得ないことであり、また、数式による表現を避けて通ることは、言葉なしにコミュニケーションを計るようなものです。もちろんそれもある程度は可能です。しかし、今の、理系、文系にわけての教育、それも、高校2年からは、ほとんど数学を勉強しない学生は、自らの学習の道を大幅に狭くしてしまっていると私は思っています。もちろんその責任は、学生にあるのではなく、そのような受験制度にした大学、教育機関の当事者（教員および大学などの行政者）、そして教育行政機関および政府です。難しいこと、即効性のないことはいろいろと理由をつけて、避けて通ろうとするが、それでいて、夢中になるのは、役に立たないことばかりという人間のおもしろさと悲しい現実も背景にありますが。しかし、責任を問うばかりではなく、本学のような教養学部教育の大学でまず数学、そして自然科学を積極的にすべての学生が学ぶことが最初ではないかと思います。理学科ではないから、数学は必要ないなどと言う学生がいるとしたら、本当に残念なことです。

この授業では、高校教育の現状も踏まえ、高校で勉強することも丁寧に復習し補いながら、社会科学で数学に出会う時、積極的に学べるよう、また、他の自然科学の基礎科目などを学ぶ時に、数式で違和感を感じないよう、さらに、必要に応じてまたは、自発的に理学科の基礎科目の数学を履修する時の助けとなるような、一つのステップを提供することが大事なのではないかと思いこのコースを作りました。

内容は、線形代数と、微分積分にしました。数学を道具としてまた、自然科学や社会科学のある部分を記述する言葉として数学を考えた時、基本となるものの代表が、この二つだからです。一学期間ですから、網羅的にまたこれらを修得するというレベルに達することを目的にしていません。線形代数や、微分積分の考え方、そして基本的ないくつかの項目について学ぶことができればと思っています。これは、大学での学習において数学を学んでいく、数学を用いていく最初のステップです。もしくは入口と言った方が良いかも知れません。これを機会に次のステップへと進んで下さることを期待しています。

教員にもチャレンジングな試みで正直、不安がありますが、皆さんとコミュニケーションをしながら大学の一般教育科目での数学について一緒に考えることができればと思っています。

最後に一言。線形代数や、微分積分に対応する下記の科目は、２０００年度から社会科学科のすべておよび国際関係学科の一部の専修分野で、専門科目として認められるようになったことをお伝えしておきます。また、２００８年度以降に入学の受講生の方も、経済学など基礎科目や専門科目に指定されています。他の科目との関連については、この授業を楽しんで下さった方へのページも参照して下さい。

線形代数入門、線形代数学、線形代数学特論、微分積分入門、微分積分学、解析学概論 I, II, III（旧科目名：線形代数学 I-II-III、初等微分積分、微分積分学 I-II-III、解析学概論 I, II）

２００１年度授業の反省点

• 新しいコースで、全体像が見えていなかったため、何を内容に加えるかや、重点を置くべき点が不明確で、ハンドアウトなどを自転車操業で作って行かざるを得ず、学生からのコメントにもあるように、講義を自分がするためのまとめなのか、学生の学習の助けとなるのかはっきりしないものが多くなってしまった。焦点がはっきりしていなかったことも、受講生が難しいと感じた大きな原因であると思われる。
• 「集合と論理」では日本語で表現する問題と、数学上の問題を明確に認識して言葉を選ぶことができなかった。日常的に数学語を使っていて、通常の日本語の用法との違いに十分配慮していなかったことも原因と思われる。この発展として推論などを扱うのも面白いが時間的にやはり無理であろう。論理は、実際に線形代数、微分積分と進む中で確認して行くのが重要で、その時点で思い出すことができるような関連性のある題材を選んでおく必要がある。「対偶」「反例」などを簡単に説明しておくことは有効。
• 全体として計算の力をつけることには重点をおかず、論理の展開を中心としようと心がけたが基本的にはこの方針が良いように思われる。学生は、簡単な式変形、因数分解、その他、中学の数学も思い出す必要がある場合も多いので、要点は時間をかけ丁寧に説明する必要がある。計算力などは、実際に数学IIIや、数学Cなどまで勉強して来た学生と数学Iや数学Aまでの学生で大きな差が出ることは当然である。このディシプリンの構築は理学科基礎科目に委ね、ここでは受講生の背景により大きな差が比較的出にくい論理展開の理解に中心をおくのがよいであろう。
• 計算練習を十分することはできないが、演習問題を簡単なものからもっとたくさん用意して配布するなどの工夫が必要。いくつかやっているうちに理解する部分も多い。
• 数学II、数学B程度まで履修している受講生が３／４いた。しかし、数学I、数学Aのみの履修の学生への配慮は重要。中学の部分も確認して行くことは重要。一方、数学I、数学Aのみの受講生もかなり良い成績を取っており、高校での受講科目が大きくは影響していなかったのは評価できる。しかし、裏返すと高校の範囲に入らない項目が沢山あったことも意味している。
• この授業では、教科書を指定することは難しいが、もう少し各自が勉強する手立てを紹介できるように準備する必要がある。
• 一番の感激は、ほとんどの学生があくまでもポジティブに受け取ろうとしていること。十分難しく、大変だったにも関わらずそれをポジティブに受け取ろうとしている姿は、感動であると同時に教えているもの、特に今回のように十分に準備された授業になっていないものをもって教壇に立つものの責任の重大さとしても跳ね返って来る。この緊張感はすばらしい。
• ２００２年冬学期は学生が減るのではと心配もあるが、受講生が楽しめる余裕を持てるような授業にしたいものである。

２００２年度授業の反省点

• 集合と論理を一通り説明した後が難しい。証明に入るのも、ブール代数などに入るのも難しい。簡単に類似点のみ解説して、数学的帰納法などの説明をした方が実際的かもしれない。
• 基本変形、行列の積の計算など基本的な問題の練習を何らかの形で補った方が良い。「できるようになる」ことは目的としないとしても、その後について行ける程度の練習はしておかないと「わかるようになる」ことも不可能。
• 差分に時間をかけすぎた。多項式の基本的な性質や、数学的帰納法は重要としても、階差数列などは、簡単に例などで扱う程度にしたほうがよい。
• 計算が複雑なものをなるべく避ける。しかし、導関数の計算ではどうしても極限になれておかないといけないのでこの練習は十分する価値がある。
• 因数定理を十分使えるようになることは、重要。因数分解でつまるばあいが多い。そのためには、組み立て除法を多項式のところで説明するのも有効かもしれない。
• 微分の導入に時間をかけすぎてしまった。もうすこしすっきり増加・減少の定義と、勾配の式、その意味を幾何的にも時間をかけて説明した方がよい。
• 平均値の定理はださなくて十分。それよりも導関数の意味をしっかり捉えた方がよい。εーδ については、もうすこし考えたい。いずれにしても、これらを使わないで直感では問題がおこる例で、しっかり説明できるものを持っていないで、説明を始めるのは多いに問題。
• 全体として練習問題をホームページに出しておくことも必要かも知れない。最低限必要な練習問題の量は個人によりかなりことなる。
• 三角関数は公式を使えないとあつかうことができないので、今後も避けた方がよいかもしれない。かえって指数関数の意味をよく考えた方が有効。いずれにしても、多項式関数以外の物を導入しないと微分などをまなぶ意味がない。有理関数をもっと使うことも有効。前もって、つくったさまざまな関数のグラフのシートを配っておくことも有効だと思われる。実際にグラフを丁寧に描いてもらうのは難しい。しかし、視覚に訴えることは大切。
• Handout があまりに貧弱。利用の仕方も検討の余地あり。有効なのは、定義、定理、公式などの正確な形を書くこともあるが、それだけだと興味が持ちづらい。例や、練習問題もいれ、２ページ程度のものを毎週配るのがよいと思われる。
• 関数について扱うとき、多項式ばかりではなくもうすこし難しいものの例をいくつかしないと有効性が伝わらない。
• 休みが入ると小テストの曜日が変わってきて予定が立てにくくなる。月・水・金にすることも検討に値する。
• 合成関数の微分・積の微分などはかなり練習が必要。それだけの価値はあると思われる。

２００４年度授業の反省点

• 字が小さかった点：２００３年度は、教室（H２６０）の関係で黒板のしたのほうが見えなかった。これは、黒板の位置を（授業終了後だが）あげてもらった。２００４年度は（H３１５）、長細い教室で、後ろからはとうてい黒板が見えない状態だった。教室自体の構造を変えないと難しいと感じた。多少対処できるのは、大きなスクリーンで、プレゼンテーションツールまたは、書画カメラなどをつかうことであろう。しかし、黒板の前にたって話すのと、スタイルがかわり、正直、気遅れする。来年度はどうしようか。
• NetCommons：コミュニケーションをクラス外ではかるには、有効だと思われる。ただ、Cabinet が学外から使えないなど、まだまだ不便な点がある。また、BBS も結局、私からのメッセージだけになってしまった。何人か書きはじめれば、どんどん書く人が増えたのであろうが、今後の課題。ホームページと複数のチャンネルがあったのはよいが、最初から、NetCommons を中心にしたほうが、安定したサービスが提供できたと思う。途中、Science server が停止した時は、どのように、NetCommons にアクセスをひきよせるが難しかった。
• Hello Chitose は有効だと思うが、クラスとまったく対応しているわけではなく、学生も積極的につかうまではいかなかったと思う。しかし、NetCommons で対応箇所をある程度書いたので、このようなサポートは今後も続けたいと思う。自習としてはここまで整っているものは他にないのだから。利用者２７人。
• 目的を具体的に書くことは、特に、期末試験への準備の動機づけを得るためにも重要かも知れない。
  1. 数学の言葉としての論理、数学の方法として基本的な、線形代数と微分積分の導入を、数学の理解を中心に学習する。知識は高校の数学I・Aのれべるのみとするが、内容は、高校の III・C の内容および、そこで扱わない、通常は大学初年級で扱うものを含む。授業中での理解を基本とするが、自分のノートを整理したり、過去問などの、練習問題をすることにより、理解を確認する勉強法を養う。
  2. 単元ごとに小テスト（全体で７回から９回）、および期末試験で成績を判定する。
  3. 命題の真理値および真理表について理解し、論理演算をともなった論理式の真理表をもとめ、命題が等値かどうかを判定することができるようになる。
  4. 集合と集合演算について理解し、論理演算との関連を理解する。
  5. 連立一次方程式を拡大係数行列で表し、行に関する基本変形で、既約ガウス行列に変形し、解を書き出すプロセスを理解し、簡単な変形および、解をパラメタをもちいて書くことができるようになる。
  6. 連立一次方程式の解があるか、ないか、あるとすると、一通りにきまるか、いくつかのパラメタを使ってあらわすことのできる、無限この解があるかを定理を用いて判定できるようにし、その背景の理論を理解する。
  7. 行列の演算（加法、スカラー倍、乗法）について理解し、計算できるようになる。
  8. 行列の演算を用いて、連立一次方程式を表現することができ、かつ、解も、行列の演算を用いて書くことができることを理解する。
  9. 基本変形が、基本行列をかけることによって得られることを理解し、実際に、一連の基本変形に対応する、行列を書くことができるようにする。
  10. 逆行列をもとめることと、連立一次方程式の解を求めることの関連を理解し、実際に逆行列を求めることができるようになる。
  11. 逆行列が存在する条件、および、[A,I]→[I,B] の変形により、B が A の逆行列となることのメカニズムを理解する。
  12. 多項式の次数および次数公式、剰余、因数定理について理解し、組み立て除法の意味を理解し、実際の計算ができるようになる。応用として、x の多項式を x-a の多項式に変形することができるようになり、その応用例を知る。
  13. 数列の極限および関数の極限の意味を理解する。収束、発散について理解し、その判定法の意味、0/0 の場合の求め方を知る。組み立て除法の有効性、L'Hospital の定理についても、理解する。
  14. 微分係数、微分、導関数について意味を理解する。
  15. 関数の和、差、積、商の微分とともに、合成関数の微分を理解し、利用できるようにする。
  16. 指数関数、対数関数を導入し、合成関数の微分を利用して、これらの微分および、xⁿ で n が任意の実数の場合の微分ができるようになる。
  17. 微分の逆としての不定積分、面積を求めることの拡張としての定積分について理解し、簡単な計算ができるようになる。
  18. 合成関数の微分の公式がどのようにして得られるかを理解し、それを、合成関数の微分および、積分への応用に用いることができるようになる。
  19. この授業で取り扱う数学がどのように他の分野に応用されているかを紹介し、数学の有用性についても理解する。
• 人間だれしもそうだが、能動的に、自発的に勉強するように、励ますのは難しい。せめて、サポート態勢は、しっかりしたいが、一人でできることに限界もある。

２００７年度授業の反省点

• ２００６年度は「数学の世界」を担当したので、二年ぶりとなる。「数学の世界」との目的・目標の違いは意識した。それぞれの特徴があり、共に、ＩＣＵにふさわしい授業だと思うが、来年度の教学改革で「数学の方法」に付けていた条件「理学科生以外」を付けられなくなるので、履修指導を徹底することが求められる。W3 に広告をだすなども必要かも知れない。
• 授業の回数が入試や休日の関係で２７回。前回に比べて３回少なかった。これは、私の責任ではないが、聞くところによるとある教員はすべての時間授業をしているにもかかわらず補習をしたとのこと。一般教育科目で、それは難しいが、このような自体が今後起こらないように、大学としても注意すべきである。来年度は基本的に休日に授業をすることで日数を確保するとのこと。この解決策がよいかどうかは別として、対応すること自体は評価できる。
• 初めて一般教育科目でゲスト・スピーカーをお呼びした。今回は新井紀子先生。「数学は言葉」というタイトルでとても良い授業をして下さった。学生の反応も非常にポジティブなものばかり、通常の授業とは違うこのような講演の意義は大きいことを確認した。これからも、できるだけこのような企画を入れていきたいと思う。
• 過去５年間の授業で、大体の概要はできあがっていたので、今回は、コメントシートの応答に時間を使った。基本的に、小テストの日以外は、毎回コメントシートを実施し（しなかった日は二回）、同種のコメントにまとめて応答することも含めると基本的にすべてのコメントに応答した。それ自体は、信頼関係を築くためにも、受講生の講義受容度をはかるためにも良かったと思うが、すべてのコメントを打ち込むのは、やはり時間もかかるので、改善策が必要。このために、他にすべき事ができなかった面もある。しかし、前回の途中から、コメントを打ち込んであるので、これを利用して、FAQ を作ることはできるかも知れない。BBS を使ったコメントのやりとりは、教員にとって便利だが、有効だとは思わない。授業終了直後のコメントはやはり別物。BBS はやはり違う機能のように感じる。
• NetCommons の利用方法は大体安定してきた。Page の概念があるのが Moodle と比べても使いやすい。無論、Software 自体の完成度は Moodle に劣る面はあるだろうが。Announcement, Schedule, Journal, Cabinet, NSI Home Page, Communication, Report, Related Links. Related Links は、w3 などの Home Page に移すことも考えられる。とても良いものが定番で集まってきたので。
• Report を今回実施した。「応用」と「美しいと感じる定理」片寄りはあるものの、レポートの質は十分だと思う。今回はそれを評価することも得点とした。良い点悪い点もあるだろうが、一つの形ではあると思う。公開 (NetCommons 内) することで、人に見られるということから、ある質が保たれる。もともとレポートの質はこの大学では高いと思うが、それを皆と共有できる。評価することで、ある部分強制的に他のレポートを読むことになる。私のものとは違った評価尺度が入る。正直にいうと、この手のレポートの採点は難しい。特に Net 上に資料がたくさんあり、それをどの程度引用しているか、丁寧にチェックすることはできない。なんらかの主観的なことたとえば「なぜその定理を美しいと思うか」を書いてもらうことである程度評価できるが、それも限界がある。レポート自体は価値があると思うが、評価は正直むずかしい。違う評価基準自体は良いが、それがこのコースに適切かどうかはもう少し検討を要する。
• READ リメディアル教育 e-Learning の利用法、他の Net 上のツールの利用は難しいが、まあこの程度の利用は良いのではないだろうか。
• 今回できなかったのは、練習問題作成と、Handout 改訂。少しずつ、やっていきたい。小テストの返却方法で、クレイムもあった。どうするかは検討が必要。３単位は範囲が広くなる。それは、自然科学系基礎科目を履修するためのステップアップという目的からは良いが、やはりかなり負担に感じる学生が多いことも事実。「数学の世界」との差別化で対応可能か。
• 来年度入学生から、自然科学系３単位となるのは、別の対応を考える必要が生じそう。数学を必修にするのは有効に思うが、学内の反発もあるかも知れない。これも検討課題。

受講生からのコメント

２００２年度

２００１年度

• 自分の勉強が足りなかったせいもあるが、結局のところ馬車馬のように目の前にある問題が解ければよい、という考え方に終始してしまった気がする。正直“楽しい”とはついぞ思えなかったです。謝るべきことかどうかわからないけど、何故結局つらいだけの授業になってしまったのか。「数学は向いていない」という言葉で片付けてしまっていいことなのかどうかよくわからない。
• 難しかったですが、わかったときの喜びを味わえました。先生も本当におつかれさまでした。たくさんのoffice hourに本当に感謝です。積分のかんたんな計算は楽しくなりました。
• 難しかった。ＮＳみたいに演習の時間ありがいいと思いました。
• 先生ありがとうございました。あまりいい点じゃないかもしれませんが、ここまで解けて、自分としては成長したな、と思っています。
• むずかしかったです。でも少し分かると楽しかったです。
• お疲れさまでした。一学期ありがとうございました。
• むずかしかったけど、解ける問題が出てくると、とても楽しく感じる。ワクワクする。問を解いている間、脳の一部が動いている感じがする。
• この授業の数学の扱いは、数学の困難で難しいというイメージを与えないものだったので、数学嫌いになることはなかった。授業の合間にはさむ話もおもしろく、いい気分転換になった。全体的に大変だったが、それなりに数学をたのしめた。
• つらかったです。特にテスト。ごめんなさい。こんなに厳しいとは...。来学期のCalIまでになんとかしないと...。がんばります（予定）。
• 毎回質問に行くたび、とてもていねいにおしえて下さりありがとうございました。点数につながるにはもっと練習をこなさなければなりませんが、何をつかってどうすれば解けるのかがわかるようになりうれしいです。ありがとうございました。
• １年ぶりに大の苦手だった数学を受講し、案の定苦労しましたが、普段あまり勉強しない分野に多少でも触れることで、少しは視野が広がったかな（？）と思います。今後もコンスタントとはいかないまでもできるだけ数学から離れてしまわないようにしていきたいです。
• ハンドアウトをもっと分かりやすくしてください。
• 私には難しすぎました。後半授業に出られないことが多かったのですが、そんなとき先生のホームページがとても役に立ちました。これからもあのＨＰはときどき見ようと思います。
• がんばったから正直Bくらいはほしいです。
• 教育の執心さに驚かされまたうれしかったです。質問にいくと快く迎えて下さったので、頑張ってやろうという気になり頑張りました。けっこうできたと思います。自然科学には興味があり秋学期はまず化学（基化Ｉ）です。Ｈですが積極的にＮＳの科目をとりリベラルアーツをたんのうしたいと思います。有意義な研究休暇をお過ごしください。
• あまり復習しなかったのでよくできませんでした。数学は好き（なつもり）なので少しずつでも勉強していきたいです。難しかったです。
• 進むペースが少し早かったような気がしましたが、とても楽しく、数学の授業をうけることができたのでよかったです。
• 先生が、数学を学ぶ事自体は日常生活にはあまり役立たないが、人間の営み自体ほとんど無駄なことが多く、無駄なことこそ役立つと言っていたのが印象的でした。どうもありがとうございました。
• 授業の開始当初は先生が話しておられる内容が本当にチンプンかんぷんでしたが、丁寧な解説と詳細なHand Outでかなり効率的に学習することができ、今でも恥ずかしいほどバカですが、この春学期間の自分の成長には感激しています。本当にどうもありがとうございました。
• 問題は難しかった。先生が楽しい人だったので数学に興味を持ちました。ありがとうございました。
• ＥＬＰ漬けの毎日のいい刺激になりました。ここで習ったことは経済分野でどう生かされるのでしょうか？（まだ経済を学んだことがないので...）　楽しかったです。
• 前やったことのあるところはわかることができるが、やったことのいとこを短時間でやるのはむずかしい。
• まず、はっきり言って難しいと思いました。でもそれは自分自身サボッてたのかなとも思います。高校と教え方が違うところもあり、それが混乱したり、また楽しかったりもしました。特に微分など、今まで何故微分をするか考えたこともありませんでしたが、理由がわかりおもしろかったです。これからも自分はＳＳで経済とかやりたいと思うので、ＮＳの数学も取ってみようと思います。最後にＳＳの特に経済とかで必要な数学はどのくらいまでか教えて欲しいです。
• 数学は苦手だったのであまり出来がよくないとは思いますが授業面白かったです。ありがとうございました。
• むずかしいー。
• 数学は難しい。
• どうもありがとうごさいました。とてもテストは大変でした。授業は高校のときの復習になったり、新しいことも知れておもしろかったです。あまり想像していたのとは同じでなかったので要領にもうすこしかいておいてほしかったです。今回は初めてだったので、先生も予想と違っていたのかもしれませんが、もう少し、何か実際に結びつけてほしかったです。
• 解き終えてないのに書いてごめんなさい。Classは楽しかったし数学は好きです（できないけど）しかし“相対評価”というのは、成績が全てではないにしてもなんだか頑張りが認められない気がしてちょっと寂しくなるような気がします...。でも今回は、明らかに私の努力が足りなかったので先生にはご迷惑をおかけしましたが解った一瞬の楽しみ・喜びは本当に良いものでした。ありがとうございました。
• 行列や極限は難しく、授業中などはよく途中で「わからない...。」と固まってしまうこともありましたが、自分で復習してみると大体理解することができ、少しわかると、とても面白く感じられるようになりました。最後の微積は高校の時から好きな単元だったので特に楽しく学べました。唯一残念なのが、今回単位を落とさなければ、今後はＧＥの数学を取ってもリピート扱いになってしまうことです。数学ＡとＢ、別扱いにして欲しいなぁ、と思います。どうもありがとうございました。
• 難。
• 難しかった。何のために数学を私たちは勉強するのかを知ることができるようなクラスにしてほしかったです。
• ＩＣＵ高校の入試の数学のテスト見て下さい。おもしろいですよ。大変お世話になりました。