Linear Algebra I (Introduction to Linear Algebra from AY2008-AY2011)
線形代数学 I（2008年度から2011年度までは 線形代数入門）

この授業について :

• 受講者の皆さんへのひとこと
• 教科書・参考書

• ２００２年度授業の反省点
• ２００７年度授業の反省点
• ２０１０年度授業の反省点
• ２０１１年度授業の反省点

受講者の皆さんへのひとこと

• この授業では、連立一次方程式の理論と、それと関連して、行列および行列式について学びます。２００８年度から３単位となり、線形写像についての簡単な性質と、固有値、固有ベクトル、対角化についても少し扱うことになりました。2012年度から名称が線形代数学I と変更になります。この科目は、線形代数学 II, 線形代数学 III と続きますが、そこまでが一連の線形代数学です。多くの理系の大学で線形代数学として扱う範囲となっています。数学は最低限と考えている人以外は、ぜひ、II, III も受講してください。
• このコースでは、厳密な理論の展開よりも、線形代数を使うことを目的としています。講義で理解できたつもりでも実際に問題に当たるとなかなか難しいものです。必ず自分で手を動かして、計算して下さい。その意味でも、演習が主で、講義は補助的と思ってください。最低でも一週間に三時間ぐらいは講義演習とは別に時間をとって頭と手を動かして下さい。線形代数学は少なくとも自然科学においてはすべての分野で必要不可欠です。授業では、教科書の順序に従いますが、教科書に書いていないことを中心に話したいと思います。

教科書・参考書

• 教科書 ：Linear Algebra and Its Applications, 4th Edition, by David C. Lay, paper back, Pearson, International Edition（2011年度から教科書にしています。）

• 参考書 ：Haward Anton & Chris Rorres, "Elementary Linear Algebra, Application Version", John Wiley & Sons, Inc., (10-th edition) （2010年度まで 9th Edition を教科書としていました。）
• 参考書：Haward Anton 「アントンのやさしい線型代数」現代数学社
  "Elementary Linear Algebra" Wiley の第2版日本語訳。平易に書かれているが証明はほとんどない。（2002年度の教科書）

• その他の参考書： 「線型代数学」佐武一郎著　裳華房
  「線型代数入門」斎藤正彦著　東大出版会
  理論的な部分に興味のある学生、数学または物理を専攻予定の学生、それ以外の分野であっても大学院進学を考えている学生は、ぜひこれらの二冊を手元において、勉強して下さい。 ただ、少し難しいです。佐武一郎の「線型代数学」は最初の出版では「行列と行列式」となっていて、複雑な公式まできっちりと書かれていますので、線型代数でわからないことがあったときに参照するのに非常に便利です。一方、斎藤正彦の「線型代数入門」は代数の理論として非常にスッキリした書き方がされています。しかし最初からその美しさを理解するのは難しいでしょう。しかしこの本の姉妹本として「線型代数演習」もあります。
  教科書巻末にある訳者あとがきの参考図書を参照。高度なものとしては、そこにある佐武一郎、斎藤正彦のものに是非挑戦して下さい。比較的やさしくかつ計算例が多いものとしては、 有馬哲・石村貞夫「よくわかる線型代数」東京図書　等があります。有馬哲、石村貞夫著　「よくわかる微分積分」　東京図書
  教科書としては非常に豊富な計算例が出ています。その意味でとても親切な教科書ですが、問題が二つあります。

• できるだけこの欄を充実させていく予定です。図書館にあるこの授業に対応する参考書は日本語200冊、英語100冊程度入っているようです。少しずつ紹介していけたらと思っています。

• "Basic Linear Algebra", by T.S.Blyth and E.F.Robertson, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer Verlag (ISBN 3-540-76122-5)
• "A First Course in Linear Algebra with Applications", by Hal G. Moore and Adil Yaqub, Academic Press (ISBN 0-12-505760-1)
  普通のアメリカの理系テキスト。分厚く問題も多い。奇数番の問題の解答がついている。
• "Introcuction to Linear Algebra", by Lee W.Johnson, R.Dean Riess, and Jimmy T. Arnold, Addison-Wesley (ISBN 0-201-82416-7)
  普通のアメリカの理系テキスト。分厚く問題も多い。奇数番の問題の解答がついている。MATLAB も利用している。
• "Linear Algebra", by R.B.J.T.Allenby, Arnold (ISBN 0-340-61044-1)
  歴史的な記述が面白い。
• "Linear Algebra", by Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, and Lawrence E. Spence Illinois State University, Prentice Hall (ISBN 0-13-23859-9)
  数学の学生向けのアメリカの教科書。通常のテキストより難しいが、証明も書かれている。
• "Linear Algebra", by Serge Lang, Undergraduate Text in Mathematics, Springer-Verlag (ISBN 0-387-96412-6, 3-540-96412-6)
  数学の学生向けのアメリカの教科書。通常のテキストより難しいが、証明もしっかり書かれている。著者は数学者としても有名だが、教科書をかくことでも定評がある。
• "Solution Manual for Lang's Linear Algebra", by Rami Shakarchi, Springer (ISBN 0-387-94760-4)
  上の本の解答集。詳しく書かれている。

２００２年度授業の反省点

• 月曜日の演習が極度に少なく、また、私の出張も月曜日にかかることが多く、十分な指導ができなかった。もう少し演習の状況をこまめに見るべきだったかもしれない。
• 小テストは受講生にとっても私にとっても忙しかったが、効果は高いと思う。
• 今回、全くの合計点方式をとった。客観性を高めるため、また、最初から評価基準を示すことを考えれば、この方法になる必然もあるが、問題点も多い。本当に理解しているかどうかを、成績に反映させるのであれば、期末試験での結果をじっくり判断すべきである。しかし、学生がどれだけ努力したかをはかるのであれば、この方式で良い。アメリカ型と日本型の違いもこのような形でも現れるのかもしれない。むずかしい。
• 絶対的な講義の時間が短いと思ってしまう。なかなか例を中心にじっくり説明する事ができない。
• ある企業に依存するようなファイル形式例えば [PDF] などは使いたくないと思っているが、platex + dvipdf + acrobat reader 5 などで数式が克服できるのであれば、この利用も考える必要もあるかもしれない。しかし、ここでまた、学生のコンピュータ技術の高低、コンピュータの質の善し悪しが、差となって現れないような便宜も大切である。
• 英語の使用は難しい。どのようにすべきか、今後の課題。

２００７年度授業の反省点

• 最初のシラバスでの、進度と、教科書単元の明示、講義、定理の教科書の番号表示、コメントシート、ネットコモンズでの応答、ジャーナル、キャビネット、Quiz、Quiz のメッセージ欄とその応答、応用に関するレポート、演習、演習での小テスト、学生による発表、演習の巡回、期末試験の作り方、評価の仕方。大体、スタンダードなコース運営ができたと思う。
• 今回の最大の難しさは、教科書が英語、板書も英語、説明は日本語ということだったと思う。この設定で線形代数学 I の授業をしたのが初めてだったこともあり、板書計画が十分できておらず、たくさん板書して、読みにくく、わかりづらいという状況を作ってしまった。同じ設定でも、もう少し配慮し、板書は記号などで略記することでわかりやすく大きく書けたと思う。次への改善点である。来年度からは、２コマ授業、２コマ演習になるので、コース自体の成り立ちがかわってくると思われるが。
• 月曜日の演習が火曜日に比較して２回少なかった。運営の面でも、困難が生じたことは確か。単純な解決方法は思いつかない。月曜が休日の時に、自主的に火曜日の演習に来ていた受講生もいたが、それを強制することはできない。教学改革のためにある程度仕方がない面もあるが、会議のために、演習に十分出席することができなかったのは、悔いが残る。そのため、一人一人の理解度について見ることができなかった。次回からは、この改善は重要である。
• 演習の運営は、二人の先生ということで、均一に行かないのは仕方がないが、その割には、それなりに、整った演習ができていたように思う。二人の先生の連携と経験のたまものか。演習で何をやったかのコミュニケーションも常に取ることができたのは良かったが、もう少し、中に入り込んで、個々の学生が苦労している点などについても、話す機会があると良かったかも知れない。
• 小テストは受講生にとっても私にとっても忙しかったが、効果は高いと思う。金曜日夜７時の提出も、途中からは、理解してくれていたと思う。NetCommons を用いた、コメントシートを通してのコミュニケーションも、最初あまり、利用されていないことを知っていたが、そのまま続けて良かったと思う。コミュニケーションを強制しては、信頼は得られない。
• 内容的には、Determinant の定義が cofactor expansion から入るのは、最初かなり苦労した。定義、証明、例、応用と計算練習の通常の説明ができないからである。しかし、ある程度、計算に慣れてから、combinatorial definition をする利点も理解することができた。これは、教育の奥の深さと難しさでもある。講義二コマになると、膨大な計算による証明も入れることになると思うが、それが果たして良いかどうかは、疑問。
• 連立一次方程式の一般論について、もう少し、しっかりとした理解ができるように、時間を割くべきだったかも知れない。Quiz 7 の最後の問題や、Final の 5 (c) に正解が少なかったのは、問題を感じる。ただ、全般的には、今年は学生の理解度が非常に高かったと思う。演習での雰囲気も良かった。最後の復習のセッションにもS312にあふれるぐらいの学生が来ていた。理学科一年生が今年少なかったことは、残念ではあるが、学習には良かったと思う。さらに、計算力もある学生が、何人もいたことは嬉しかった。これからも数学に興味を持って伸びていって欲しい。

２０１０年度授業の反省点

• ２００８年度から新しいコースなり、名称も線形代数学Ｉから線形代数入門となった。単位は、２単位（講義１＋演習２）から３単位（講義２＋演習２）に変更、それに伴って、内容には、２次元と３次元のベクトルと、固有値、固有ベクトルが加わった。線形代数学、線形代数特論と続くが、これらを履修しない学生が多いことを想定して、他分野で最低限、固有値などについて知っておいた方がよいとの配慮からであるが、どの程度踏み込みかは、未確定であるため、教員に任されている。
• 教科書は、数年利用している、Anton-Rorres の Elementary Linear Algebra, Application Version (Wiley International Edition) 9th Edition を利用したが、春に10版が出版され、夏に International Edition がでたこともあり、購入にも困難が生じた。来年は、10版にする可能性もあるが、この機会に教科書を見直すべきであると思う。簡単にこの教科書について書くと
  • やさしく、わかりやすくかつ例も多い。三版の日本語訳を以前使っていたことからなじみもあり、この教科書にしていた。英語の教科書の特徴で、演習問題と一部その答えがあり、関連書籍も充実しているメリットもある。
  • 応用をあつかった Chapter 11 が特徴的で、この部分が充実している。わたしはこの教科書二回目であるが、どちらもこの章に関するレポート問題を課題とし、学生にも好評であった。（期末試験時のメッセージ欄にもポジティブなコメントがいくつかある。）
  • 証明を考えて構成されていない。そこで、間を埋めて証明することすら難しい配列になっている。特に行列式では、Cofactor Expansion で帰納的に定義している。これは、仕方がない面もあるが、10版では、交代和での定義すら無くなっている。すべてに厳密な証明はなくても、筋が通っていないと、少なくとも、このコースにつながるコースでは使えない。実際、線形代数では、１／３程度、線形代数特論では２／３程度教員が独自に講義録を作って埋めることになっている。
  • 上の二項目からもある程度見て取れるかも知れないが、練習問題で洗練されていないものがある。非常に研鑽量が多いにも拘わらず、あまりきれいなことがでないなど。ひたすら問題を解くことは重要だが、あまりに数学の美しさが失われている。
  • 最大の問題は三省堂（学内書店）で購入が難しいこと。値段の差がありすぎる。そこで購入がむずかしい。次年度からは、まずは、三省堂で購入できる、日本支社がある International Edition を出版している会社のもので、かつ、線形代数学と、線形代数特論に使いやすい教科書に変えたいと思う。良い教科書が見つかれば良いが。アメリカでは一般的に、微分積分が一年生で、線形代数は二年生が学ぶことが多く、教科書の充実度も、差がある。良い教科書が見つかることを願い、図書館に幾つかの教科書の購入申し込みをしている。できれば年内には決めたい。
• 最初のシラバスで、進度と、教科書単元の明示、コメントシート、NetCommonsでの応答、Quiz、Quiz のメッセージ欄とその応答、章末問題の宿題２回、応用に関するレポート、演習での学生による発表、コアプロブレム、評価の仕方など説明したが、いくつか予定通りに行かなかった。
  • NetCommons が RAIDがこわれたため、ちょうど使い始めた時期に使えなくなってしまった。そこで、w3 にホームページを作り、代替として運営したが、NetCommons では、書類の download 状況がモニターできるが、それができないため、学生がどの程度、Quiz や Quiz の解答、コメントシートの応答などを読んでいるのか把握できず、手探りで運営しなければならなかった。ILC でも、NetCommons は授業に利用したくないようなので、今後は利用できず、Moodle などに変えていかなければいけないようだ。個人的には、Moodle より使いやすいので、ちょっと残念。
  • 線形代数に関するレポートの質が高く、小テスト１回分の配点では、どうかと思うようになり、小テスト１回半分の点数に変えたため、演習の点が減り、評価基準を変えることとなった。演習の評価基準もなかなか定まらず、公開できなかった。演習の運営に関しては、３人のＴＡの人たちに対する私の対応が十分では無かったと思う。もう少し丁寧にコミュニケーションすべきだった。
  • 基本的には、シラバスを契約とは考えず、柔軟に対応していった方が教育効果は高いと思うが、説明が十分できなかったのは問題だった。
• 講義について
  • 内容については特に固有値と対角化をどこまでするかが問題だった。教科書としても、３章から７章に飛ぶ分、一次独立や、基底、内積空間について学んでいないため、教科書をそのままは使えず、演習問題には配慮が足りなかった。工夫が必要。ここだけは、ハンドアウトで対応するのも一つ。次の教科書が決まってからの検討課題。
  • 英語であることが最初なかなかなじめないことにつながっていることは否めない。コメントシートへの対応で、納得してもらう方法をとっているが、簡単な用語集は作っても良いかも知れない。安心を与えられる。微積も、物理も、化学も、生物も英語の教科書を使うことから、英語の教科書自体は問題ないが、厚くて重いという問題は、深刻になってきている。あと数年後には、pdf の open textbook などに移行するのも検討課題。すでに英語では何種類か公開されている。まだ市販のものとくらべて質が落ちると見えるが、次の次の教科書選択あたりでは、使えるかも知れない。
  • すこし理論的な証明が多すぎたかと心配したが、学生の講義についての反応はおおむねポジティブ。数学の面白さを感じてくれているようで嬉しい。コンパクトにより整った授業に変えていくことと、教科書とのリンク、演習とのリンクを整備することが重要。
  • 黒板の字が小さいことを今年も克服できなかった。人数が今回ぐらいであるなら（４５）もう少し小さい部屋の方が良いかも知れない。以前よりは、文字数を減らしたので改善はされていると思うが。
  • 講義の内容を、もう少し演習に実質的に反映することも考える必要がある。
• 演習について
  • TAが一人をのぞき、初めてだったこともあり、三人で統一することが難しかった。わたしが、コースが新しくなってから１回目であったことも、影響したと思う。特に、演習で学生に発表させるさせ方、コア・プロブラムを宿題とどのていど思わせるかと言うこと、説明をTAがどの程度するかということ、授業との関連などなど、正直３つの演習の統一性を保つのは難しかった。以前は、演習で１問ずつ小テストという形式をとったこともあったが、今回はそこまで手が回らず、まったくの発表回数だけで演習点をつけることになった。最初からもっと整理しておかなければならない。
  • 今回の最大の改良点は、コア・プロブラムをクラスでアナウンスし、演習の最初の時間にしてもらったこと。これも演習のクラスによって扱いが異なったようだが、提出はしないが、宿題扱いとして、演習を進めることにはなったと思う。
• 期末試験について
  • むずかしいことはわかっていたが、このレベルを目標とすることをもっと早くから学生とＴＡに示すべきだった。これも１回目という経験不足の所以である。もうすこし、コア・プロブレムの選択を大切にして、そこから問題を出すべきだったと反省している。次回は、いきつく先を最初からＴＡに伝えることで、改善できると思う。
  • 予想通りかなりの幅ができた。それはおいて、期末試験前の Review セッションが機能しなかった。やはり質問ではなく、Review Session と明示した時を一回作った方がよいのか、これは、難しい。すくなくとも最後の演習は、期末試験に向けた復習をもっと具体的にすべきだった。Review Sheet ができたのがぎりぎりだったので仕方がないが。
• 改善点が少し見えてきた気がする。

２０１１年度授業の反省点

• 教科書について：
  • ２０１０年度まで利用していた、Haward Anton & Chris Rorres, "Elementary Linear Algebra, Application Version" の９版が新版である１０版になることになり、教科書選びが2010年秋から始まった。Anton-Rorres は、良く使われている教科書であるが、大学内の書店で買うと非常に高価になるため、業者に販売に来てもらう等していたため、追加注文などが難しく、大学内書店からある程度安価で購入できるものに変えたかった。さらに、厚すぎて持ち運びに適さない（アメリカの教科書は概してその傾向あり）、練習問題の質が十分とは言えないものが多い。などが理由である。教員だれも納得のいくものではなかったが、いちおう、Linear Algebra and Its Applications, 4th Edition, by David C. Lay を選択した。
  • 今回の教科書は、線形写像が非常に早くに登場し、連立一次方程式、ベクトル方程式、行列方程式、線形写像に関する性質の関係が一章から紹介される。一学期間を通して、これらの行き来をするので、その意味では興味深い。行列式については、cofactor expansion で定義し、通常の交代和の式は消滅。それが主流なのかも知れないが、やはり多少不満。性質の証明を厳密にはできない。ベクトル積は教科書に含まれていない。演習問題は、まあまあかもしれない。
  • 英語の教科書は学生にとって負担であることは確かだが、一応、英語とする理由を書いておく。
    • 線形代数と、微分積分は最初のコースを日・英と二コース出しているが、二番目のコースからは、一つのコースとなる。数は圧倒的に４月生（日本で中等教育を受けた学生）が多いが、９月生（日本以外の教育システムで中等教育を受けた）学生もある程度いることを考えると、英語にするメリットは ICUとしては大きい。秋学期から物理、冬学期から生物、化学も英語の教科書を利用しているので、慣れるのには良い機会でもある。
    • 演習問題が豊富で、奇数番は答があるなど、構成が日本語の教科書と比較して良くできている。特に、何人ものTAを使って演習をするときには、とても重要である。簡単な問題も多いことは、有効。
    • 応用例が豊富。日本語の教科書では、これほど豊富な例や、応用は含まれていない。特に数学の教員では、一人でそれだけ書ける人はいないからである。特にICUのように、様々な分野の学生が一緒に学ぶときには、各方面の応用例が多いことは有効。
• 講義について
  • 教科書の構成が最初十分理解できず、教科書を十分利用できなかったときがあった。ベクトル積は、教科書に無いのだから、省いても良いかも知れない。他の教員との調整が必要。２章をどこまで扱うかも最初定まら無かったが、結経、実際の授業の通り、2.4までで良かったであろう。単射、全射や、特別な線形写像をどの程度扱うかは今後の課題。
  • ２回目の授業から実施した、ハンドアウトと、スライドの組合せによる授業運営は余裕も生じ良かったと思う。準備は大変であるが、まずは、ハンドアウトを作り、それをもとにスライドを作成する。最初スライドで少し復習をしてから、始める。今年から、N220 にはメインスクリーンのほかに二つのサイドスクリーンができたため、サイドスクリーンを使って、黒板で説明をする事ができ、非常に良くなった。これからもこの方法を有効に使いたい。
  • 今年から Moodle を利用。コメントシートへのレスポンスも、多少遅れ気味ではあったが、最後まで続けることができた。今後もこのサイクルは良いように思う。しかし、Moodle での質問は殆ど利用されなかった。やはりここに質問をするのは、勇気がいるということか。
  • Take-Home Quiz をやめ、宿題レポートを４回行った。採点は大変であったが、適切であったと思う。ただ、HW4 for Review はもう少しカバーした問題をしっかり扱っていた方が良かったと思う。改善事項。
  • 最後の授業で少し難しめの問題で復習したのは良かったと思う。ただ、すでにかなり遅れてしまっていた学生はもっと早い時点でアプローチする必要があった。反省。
• 演習について
  • TAが一人だけ新人だったが、３人とも、かなり高いレベルの演習をしてもらえたとおもう。特に途中から、みな、演習での詳細、十分理解できていない学生のことなど、丁寧に報告してくれたのは良かった。ただ、わたしが本部棟での仕事が多く、あまり演習に出ることができず、学生の顔と名前も一致しなかったのは問題。今学期の一番大きな反省である。Ｅとなった学生のまだ何人かサポートできたように思う。
  • コア・プロブラムをクラスでアナウンスし、演習の最初の時間にしてもらったことは良かった。最後欠席がある程度の割合いたこともあり、演習点の明確化のために、小テストをしたが、これは、有効なので、これからもしてみたい。私が作る問題でも良いが曜日がことなるため、二種類作成するのは、うまくいかないかも知れない。
  • 講義、演習、宿題などなど全体で整っていたと思うが、学生によっては、関連性が見えにくいと思っていたようだ。なにか工夫が必要かも知れない。とはいえ、これはなかなか難しいが。
• 期末試験について
  • むずかしいことはわかっていたが、このレベルを目標とすることをもっと早くから学生とＴＡに示すべきだった。昨年と同じ文藻を書くのは能がないが、教科書が変わって、毎回余裕が無かったのが正直なところである。同じノートなどは殆ど使えなかった。もうすこし、コア・プロブレムの選択を大切にして、そこから問題を出すべきだったと反省している。次回は、いきつく先を最初からＴＡに伝えることで、改善できると思う。
  • 予想通りかなりの幅ができた。それはおいて、期末試験前の Review セッションが機能しなかった。やはり質問ではなく、Review Session と明示した時を一回作った方がよいのか、これは、難しい。
• 改善点が少し見えてきた気がする。と毎年同じ事を書くのは悲しい。

• 教科書に[M]マークがついている問題がたくさんあり、MatLab を利用することを前提としている。日本で教育を受けた学生は計算力もある場合が多く、MatLab は不要とも言えるが、授業のあと、Let's try SAGE! を行った。15人ほどが来てくれた。このような取り組みは続けたい。Computer の利用は実際に使うときにとても重要。