CALII 微分積分学II

１９９８年度 QUIZ :

• Take-Home Quiz 1
• Take-Home Quiz 1 : Solution

QUIZ 1 1998

1. f(x,y) を (x,y) が (0,0) とことなる時は、x²y/(x²+y²)、f(0,0) = 0 で定義された関数とする。
   1. f(x,y) は (0,0) で連続かどうか判定し、理由も述べよ。

   2. f(x,y) は (0,0) で x に関して偏微分可能かどうか判定せよ。可能なら、f_x(0,0) を求め、不可能ならそのことを示せ。

2. g(x,y) を (x,y) が (0,0) とことなる時は、xy/(x²+y²)、g(0,0) = 0 で定義された関数とする。
   1. g(x,y) は (0,0) で連続かどうか判定し、理由も述べよ。

   2. g(x,y) は (0,0) で x に関して偏微分可能かどうか判定せよ。可能なら、g_x(0,0) を求め、不可能ならそのことを示せ。

   3. g(x,y) は (0,0) で全微分可能か判定し、その理由も述べよ。

QUIZ 1 1998 : Solution

1. f(x,y) を (x,y) が (0,0) とことなる時は、x²y/(x²+y²)、f(0,0) = 0 で定義された関数とする。
   1. f(x,y) は (0,0) で連続かどうか判定し、理由も述べよ。

      解答： x = r cos t, y = r sin t とおく。すると、
      lim_{(x,y)→(0,0)}|f(x,y)| = lim_r→0(r³ |cos²t sin t|)/r² = lim_r→0 r |cos²t sin t|) = 0 = f(0,0)
      だから、f(x,y) は (0,0) で連続である。
      |cos²t sin t| は１以下であることに注意。y = mt とおいて調べただけでは不十分です。
      原点を通る直線上では、一定の値だが、曲線を通って (0,0) に近付く時にはある一定の値にならないような例も作れます。h(x,y) = x²y⁴/(x²+y⁴) などを考えてみて下さい。

   2. f(x,y) は (0,0) で x に関して偏微分可能かどうか判定せよ。可能なら、f_x(0,0) を求め、不可能ならそのことを示せ。

      解答： lim_h→0(f(h,0)-f(0,0))/h = lim_h→00 = 0
      だから f_x(0,0) = 0 である。最初から y = 0 としているところに注意して下さい。

2. g(x,y) を (x,y) が (0,0) とことなる時は、xy/(x²+y²)、g(0,0) = 0 で定義された関数とする。
   1. g(x,y) は (0,0) で連続かどうか判定し、理由も述べよ。

      解答： x = y = t とする。もし、g(x,y) が (0,0) で連続ならば、lim_{(x,y)→(0,0)}g(x,y) が存在して、g(0,0) = 0 と等しくなければならない。ところが、
      0 = lim_{(x,y)→(0,0)}g(x,y) = lim_t→0g(t,t) = lim_t→0 1/2 = 1/2
      これは、矛盾である。従って、連続ではない。

   2. g(x,y) は (0,0) で x に関して偏微分可能かどうか判定せよ。可能なら、g_x(0,0) を求め、不可能ならそのことを示せ。

      解答： lim_h→0(g(h,0)-g(0,0))/h = lim_h→00 = 0
      だから g_x(0,0) = 0 である。すなわち、偏微分可能です。

   3. g(x,y) は (0,0) で全微分可能か判定し、その理由も述べよ。

      解答： 全微分可能であれば (0,0) で連続でなくてはいけないが、１より連続ではないので、全微分可能でもない。
      判定条件として、g_x(x,y) および g_y(x,y) が (0,0) の近くで連続であれば良いが、これは、連続ではありません。また、これらが連続でないことが示されたからといって 全微分可能ではないとは結論できません。このことにも注意して下さい。