BCM I（２００７年度まではBCMM I）
数学通論 I

この授業について :

• 受講者の皆さんへのひとこと
• 学習目標
• 参考書

• ２００３年度授業の反省点
• ２００４年度授業の反省点
• ２００５年度授業の反省点
• ２００７年度授業の反省点
• ２００８年度授業の反省点
• ２０１０年度授業の反省点
• ２０１１年度授業の反省点

受講者の皆さんへのひとこと

• [教養学部要覧] 数学および数理科学を学ぶために必要な現代数学の基礎概念のなかから、集合および代数系の基礎を教える。集合と写像、同値関係と同値類、濃度および代数系を含む。毎週講義1時限、演習2時限。第一学期

• 数学を他の分野に応用すると言うのではなく、数学自体を学ぶ専門分野の数学として最初のコースです。内容はサブタイトルにあるように中心は「集合」と「代数系」です。
• 集合は数学を厳密に組み立てていくために、数学を記述するための言語として発達してきたものですが、同時に、そのなかで数学の厳密化の過程でおこるさまざまな問題も指摘され、公理的集合論・数学基礎論といった分野を生み出してきました。ここでは、集合論を厳密に組み立てていくというよりも、数学で今後学んでいくときに必須である、数学を記述するという部分に焦点をあてて学んでいきます。この意味からも、論理についても同時に学びます。
• 代数系は、演算が定義された集合を扱うものです。群・環・体ということばも出てきますが、ここでは、そのような代数系の構造に焦点をあてるというより、整数全体や、ｎを法とした演算の定義された整数の剰余類、時間があれば、多項式全体についての性質を学んでいきます。
• 数学を学ぶ実践の最初のコースです。厳密な論理を組み立てる訓練の場だと思って下さっても構いません。これは、そう簡単なことではありません。その意味でも、知識を得るというより、自分で考え、または他の人が書いた証明を理解し、それを、証明というかたちでどのように記述するかを訓練する場でもあります。論理の組み立て、その記述について学ぶことは、数学を専門とする人にも、自然科学を学ぶ人にも、社会科学や他の分野を学ぶ人にも、数学を学んで一番意味のある部分だと思います。ここで学ぶ知識の部分は数学を学んでいく上で必要ですが、それよりも、ここで学ぶ数学を学習する時に得られる厳密な論理を組み立てる力を養うことこそがこの授業の一番の目的です。
• 演習を大切にし、積極的に問題をといて下さい。証明を自分で書いてみて、他の受講生や、教員から、それぞれのステップにギャップがないかを検討する時間を大切にしたいと思います。演習だけでなく、小テストもできるだけ頻繁にしたいと思います。添削されたものをもう一度検討することを大切にしてください。
• 証明についてはある程度高校生の時または受験準備で馴れている人と、まったく証明を自分で書いたことがないひとといると思います。最初は簡単な整数についての命題の証明を書くことから始め、証明の方法に使われる論理も確認しながら、進んでいきます。このコースで証明が急に自分でできるようになるわけではありませんが、数学における証明とはなにか理解し、次のステップに進んでいって下さい。

学習目標

• 記号論理・集合・写像・同値類などの基本的な性質を学び、無限を数える集合の濃度の理論、代数的構造の入った集合についての基本事項を学びながら数学的思考の根幹をなす定義・命題・証明を学ぶ。証明を本格的に学ぶ最初のコースとして、考え、理解したことをわかりやすく説明する基本としての証明を体験し、基本的な問題については、自ら証明を考えられるようにする。
• 論理演算について理解し、論理同値を、真理表および論理演算の性質を用いて確かめることができるようになる。述語論理の基本および記号の使い方を理解し慣れる。
• 集合演算についての性質を、論理の言葉に直す、元をとって、または基本性質の利用により証明することができる様にし、集合が等しいことの定義にもどって証明するとはどういう事かを理解し、基本性質を自分で証明できるようになる。
• 関係に関する性質（反射律、対称律、半対称律、推移律）について理解し、順序関係、同値関係であるかどうかを様々な例で、確かめられるようになる。同値関係から同値類が作られ、同値類の性質が同値関係のどのような性質と関係しているかを理解し、同値類の性質について証明できるようにする。
• 写像（関数）の定義（定義域、終域、対応）および、全射、単射、全単射、逆写像、値域、原像、写像の合成について理解する。写像と集合演算の関係、写像の合成と単射、全射の関係を理解し、その基本性質について証明および反証ができるようになる。また具体的な写像について、それが単射か、全射か、等しい写像か、などを検証できるようにする。
• 二つの集合の間に、全単射が存在する、単射が存在する、全射が存在するとは、どういう事かを理解すると同時に、これらの存在および非存在を証明できるようにする。
• 集合の濃度について理解し、濃度が等しいこと、濃度の比較、濃度が等しくないことを理解すると共に、幾つかの例で証明できるようにする。カントール・ベルンシュタインの定理の意味を理解し、利用できるようにする。
• 初等整数論の幾つかの定理を理解し、証明できるようにする。特に、n を法とする演算について理解し、それを用いた証明ができるようになる。

教科書・参考書

• 教科書 ：
  ２０１１年度から次の本を教科書に指定しました。以前使っていた「証明の楽しみー基礎編」のもととなっているものの第二版です。
  "Mathematical Proofs, A Transition to Advanced Mathematics, Second Edition" by Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang, Pearson International Edition (ISBN13: 978-0-321-52673-1, ISBN10: 0-321-52673-2, 2008)

  ２００７年度・２００８年度は下の本を教科書に指定しました。参考になると思います。
  「証明の楽しみー基礎編」Gary Chartrand, Albert D. Polimenni, Ping Zhang 著、鈴木治郎訳、ピアソン・エデゥケーション ISBM4-89471-764-6
  皆さんが一番苦労する、証明の理解と練習に中心をおいてあります。正直に言いますと翻訳に多少不満もありますが、日本語でこの種類の本を私は他に知りません。英語版を使うかどうかは迷うところですが、まずは日本語版を使うこととしました。教科書に指定したからには、十分使います。実は、応用編（英語は一冊）の最初の章もこの科目の範囲に入っていますが、基礎編のみを教科書とします。

  ２００６年度までは、この授業の範囲をカバーしている松坂和夫著「数学序説 - 集合と代数 - 」など、品切れになっているものが多いため、特には指定しませんでした。入手しやすいものでお勧めは上江洲忠弘著「集合論・入門」、松坂和夫著「集合・位相入門」、斎藤正彦著「数学の基礎 (基礎数学)」あたりでしょうか。この授業と同じではありませんが、夏休みに最後まで読むつもりで、赤摂也著「集合論入門」や、松坂和夫著「集合・位相入門」を読むことを勧めます。公理的集合論に興味のある方はまず竹内外史著「新装版：集合とはなにか (はじめて学ぶ人のために)」を読むことをお勧めします。前半はこの授業とも関連してよい入門書にもなっています。

• 参考書：
  • "Mathematical Reasoning, Writing and Proof, Second Edition", by Ted Sundstrom, Peason, Prentice Hall (ISBN0-13-187718-6)
    内容は "Mathematical Proofs, A Transition to Advanced Mathematics, Second Edition" と殆ど同じだが、問題なども個人的には、この方が洗練されている。しかし、日本における入手価格が高いため使えなかった。
  • "How to Prove It: A Structured Approach", by Daniel J. Velleman, Cambridge University Press; 2 edition.
  • "How to Think Like a Mathematician: A Companion to Undergraduate Mathematics", by Kevin Houston, Cambridge University Press.
  • 「集合論・入門」上江洲忠弘著、遊星社（2004.4.17）
    目次：集合、集合とクラス、集合の分割、数直線上の図形、関数、集合の対等性、バナッハ・タルスキーの定理、集合の濃度、整列集合、順序数
    ２００４年度の授業が始まってから出版されました。現在書店で売っている集合論の入門の教科書がない現状を考えると、一番適切な参考書と言えると思います。内容を詳しく読んではいませんが。
  • 「集合と論理」井関清志著、新曜社（1979.4.20）
    目次：１数学的文法、２集合、３自然数から実数へ、４計量数と順序数 （数学通論Iの代数系以外の部分を含む。）
  • 「現代数学入門」大口邦雄・成田正雄共著、サイエンス・ライブラリ 数学１０、サイエンス社 (1976.11.30)
    著者は二人とも ICU の教授だった方々。成田先生はこの本が出版される１年前にお若くして逝去。
    目次：１記号論理、２集合、３代数系、４位相 （ほぼ現在の数学通論I＋III の内容）
  • 「数学の基礎 (基礎数学)」 斎藤正彦著 , 東京大学出版会　(2002.8 , 277p)
  • 「集合論入門」赤摂也著、培風館（ISBN4-563-00301-8, 1957.1.25）
    目次：１集合の代数、２濃度、３順序数
    私は大学３年の時にこの本を買い夏休みに２〜３週間で通読した記憶があります。一気に読み、すこし分かった気になったのを覚えています。
  • 「新装版：集合とはなにか (はじめて学ぶ人のために)」竹内外史著、講談社 (BLUE BACKS B1332 ISBN4-06-257332-6, 2001.5.20)
    読書記録２００１ に書評あり。
  • 「数学基礎セミナー」日本大学文理学部数学科編、日本評論社（ISBN4-535-78355-1, 2003.2.15）
    目次：１準備、２集合と写像、３実数とその連続性、４複素数、５命題と論理、６集合（付録１）、７自然数（付録２）、８整数（付録３）（数学通論Iの大体の内容と、数学通論IIの一部分を含む。）
  • 「集合・位相・代数系」中山正、至文堂（1949.10.1）
    目次：I 集合、II 位相空間、III 代数系（数学通論I および III の範囲を含む）
  • 「数学序説 - 集合と代数 - 」松坂和夫著、実教出版 （1978.1.20）
    目次：１集合・論理・写像、２初歩の組合せ論、３濃度、４数論初歩から、５群と置換群、６整域・素元分解・体 （数学通論I および 代数学I、II の範囲を含む。）
  • 「集合・位相入門」松坂和夫著、岩波書店（1968.6.10）
    目次：１集合と写像、２集合の濃度、３順序集合、Zorn の補題、４位相空間、５連結性とコンパクト性、距離空間 （数学通論I の集合とその濃度の部分 および 数学通論IIIの内容を含む。）集合・位相は私は一番最初この本で勉強しました。大学２年生の時に最後まで読んだ記憶があります。
  • 「数学のロジックと集合論」田中一之／共著　培風館　(2003.12)
  • 「集合への30講」志賀浩二著　朝倉書店　(1988.5)
  • 「集合と代数系入門」大口邦雄著、理学レクチャーシリーズ No.1 (2002)

２００３年度授業の反省点

• この授業は以前からとても大切な位置をしめる授業だと思っていましたが、教えてみて、ますますその確信を深めた。現在は高等学校までの過程で証明にじっくり取り組む事が非常に減っている。論理の基礎をまなびその上で、定義そして命題、証明と積み重ねていくことを学ぶのは単に重要というだけでなく、おそらく「数学」分野からの一番の教育における貢献だと思う。
• あまりに忙しくなり過ぎ、十分な時間を授業の準備に使う事ができなかった事は、受講生に対して非常に申し訳なかった。講義もさることながら、良質の問題を提供する事はこの種の授業には必須であるにもかかわらずいつも問題作成はおざなりになってしまった。経験不足は否めないが、それ以上に自分の生活全体に対して、昔流の言葉を使うと「自己批判」せざるを得ない。
• それにしても、一部を除いて、受講生が非常に積極的に問題と取り組んでくれた事は、授業の質を考えると感謝としか言えない。ここで終らず是非、数学通論II、IIIと進んだり、解析学概論I（複素関数論）へと進んで欲しい。もう一つこの授業とつながっている、代数学Iを学んで欲しい。数学の授業の関連については、次のページを参照。
• 次回教える時には、講義録を作る事。演習問題を整理し増補すること。演習の時間をもっと有効に用いる事ができるよう何らかの方策をとる。

２００４年度授業の反省点

• 大学の数学を勉強しようという学生にとって、この授業ほど大切なものはないことは確かであるので、この授業担当の責任は重い。
• 小テストの役割ははっきりして、有効に用いられたと思う。演習の点数を含めた評価は改善の余地がある。
• 昨年度と同じ反省点を書かざるをえない状況は成長が見られず最大の反省点。
• 内容は代数系以外は大体確定したと思うが、やはり教科書があった方が望ましい。この授業が開始されてから一冊、集合論の入門書が出版されたが、いくつか問題もある。授業時間が限られているので、もう少しきっちりとノートを作り、講義をすることが望ましい。選択公理の扱い方が問題。これは大いに改善の必要がある。Zorn の補題などを、整列集合などとともに入れた方が良いかも知れない。
• 代数系について、ほぼ２回（復習をしなければ３回）しか時間がないので、何をすべきかが悩みの種である。他の授業との関連も考えて、計画し直すことも必要かも知れない。
• 演習の運営に不満が出されていた。指名に時間をとってしまったのは全く私の失敗。しかし、３０人程度の学生を一人一人丁寧に見るのはむずかしい。宿題などと合わせて、もう少し計画的にすべき。問題の整備も今回は少ししか進まなかった。最後の時間は、復習にあてることが必要。一時間一時間の目標を明確にすることも大切だ。今回はあまりに授業の準備が足りなかった。

２００５年度授業の反省点

• 役職についていたこともあり、非常勤の先生に演習をお願いし、講義のみを担当することになった。そのため、学生の理解程度については、正直十分把握できず、非常勤の先生から間接的に情報を得ることしかできなかった。若い先生に演習をお願いすること、また、二人の教員が担当することはメリットも多いが、難しい面もあることは否めない。
• 演習時にも Reading の確認テストをするなど、かなり細かく計画して全体をオーガナイズしたが、読む教科書が英語で、授業・板書も日本語だったため、負荷が多かった割には機能しなかったかも知れない。
• 内容は代数系以外は大体確定したと思うが、やはり教科書があった方が望ましい。同じ事を毎年書くのは心苦しいが、この構成の授業があまり行われていないことも原因としてあげられる。英語のものでも良いものがあればよいが、まだ見つかっていない。
• 今年度から、Black Board を利用した。配布物の整理の面ではよいが、どの程度有効かは今後の課題。

２００７年度授業の反省点

• 教科書：今年度から教科書を指定した。これは以前からの課題であったが「集合と代数系」にふさわしい教科書は現在は出版されていない。さらに、このコースの目的は、これらのトピックをカバーするより、数学の入門として数学の用語、考え方、証明に慣れる部分が大きい。このための適切な教科書が見つからなかった。英語ではそのようなものが存在することは、知っていたが、授業の目的にあうかどうか、言語の問題はどうかなど、決めかねていた。その路線にそった英語の教科書の日本語訳を学生から薦められ、使ってみることとした。もともとのこのコースの内容とは必ずしも、あってないが、目的とはあっていることを考えるとこれでよいのかも知れない。しかし、幾つか問題もあった。まだ日本語訳は出版されて時がたっていないため、誤植がある。翻訳が優れているとは言えない。日本語の数学用語が適切かどうか、すくなくとも私が日常使っているものと多少異なる部分があった。これらは致し方がないとして、やはりアメリカ型の問題構成は、受け入れなければいけないと思いつつも、数学の精緻さからくる美しさを台無しにするような、同じ事の繰り返しには、その教育的意味を考えてもなお、問題を感じた。これは、無論、受講生の背景と関係することで、単純には決められないが、やはり練習問題については、再考せざるを得ないと思う。しかし、１時間の講義、２時間の演習というシステムでは、学生の自習が必要不可欠である。それには、教科書の存在、丁寧な説明、ヒントなどのある練習問題は、重要である。少しずつ整えていきたい。
• 講義・講義ノート：教科書を用いて始めて講義したため、ノートの改訂に手間取り、ノートをすぐには配布できなかった。ただ、ノートが充実すると、教科書を読まなくなるおそれもあり、痛し痒しである。講義は２時限目であったが、最初の出席の悪さはやはり残念。１０時１０分の時点で出席者が二桁いたときは無かったと思う。コメントシートも毎回（１回は忘れたが）実施し、NetCommons 内にすべてのコメントに対する応答を書いたが、今回は実質的質問が殆ど無かった。あまり意味がなかったかも知れない。すべてを授業で話すことができないシステムで、何に焦点をしぼって講義するかは非常に難しい。
• 宿題：奇数番の問題を３問以上というアメリカ型システムはやはり良いと思う。無論、無駄にすべて問題を解く受講生（採点も大変）答えを写す程度で殆ど学んでいないのではないかというものもあったが、ある程度教科書を読む動機付けにもなるし、問題意識を持って、演習に臨めるので、良いように思う。この時点で自分が分かっているかどうかがある程度わかる。演習である程度解決、とはなるが、この時点での疑問に直接的に答えられないのは、残念。コメントシートではなく、NetCommons を利用するほうが良いのかも知れない。ただ、実際には、ぎりぎりまで、質問は来ないかも知れない。
• 演習：まあまあだと思うが、最初のラウンドで、黒板に解答を書く時間がかかりすぎで、次に進めない。これも提出とすることで、解答を書いてくる動機付けをあげることも一つの方法か。
• 小テスト：演習の後と言うことで、すこし難しめにしたが、おおむね良かったと思う。演習の最初に配布して、簡単に説明しても良いのかも知れない。演習に集中できないデメリットもあるが。
• 内容：代数系を入れるのが難しくなってしまっている。前からの問題でもあるが、短い時間で何を盛り込むか、明確にしがほうが良いであろう。整数の整除と Ｚ_ｎ の加法と、乗法までだろうか。
• コミュニケーション・ツール：NetCommons を利用したが、あまり利用率は高くなかったように思う。このチャンネルを通しての質問は、学生一人一人の学習環境に大きく依存する。状況を見極めながら進んでいくのが良いだろう。

２００８年度授業の反省点

• 教科書：「証明の楽しみ（基礎編）」を使い始めて二年目。教科書の存在、豊富な例題の解説、ヒントなどのある練習問題は、重要である。しかし、問題を選択することも重要。例題集を、小テストの過去問なども使い、もう少し教科書とは別に充実させないといけないように思われる。少しずつ整えていきたい。
• 講義・講義ノート：教科書を用いて始めて二年目ということもあり、大分、慣れてきて、要点を工夫できるようにはなったと思う。しかし、例をする時間は十分ではない。コメントシートも毎回実施したがあまり機能しなかった。毎回返却していけば、質問が充実してきただろうか。授業におけるコメントシートとその解説よりも、演習問題の解説をハンドアウトにするなどして、そちらを充実させた方が良いように思われる。
• 宿題：奇数番の問題を３問以上というアメリカ型システムはやはり良いと思う。しかし、同時におすすめ問題をリストすることも重要であると思われる。とても簡単な問題だけを、宿題だからという理由でする学生もある割合いるので。
• 演習：まあまあだと思うが、最初のラウンドで、黒板に解答を書く時間がかかりすぎで、次に進めない。これも提出とすることで、解答を書いてくる動機付けをあげることも一つの方法か。
• 小テスト：演習の後と言うことで、すこし難しめにしたが、おおむね良かったと思う。演習の最初に配布して、簡単に説明しても良いのかも知れない。演習に集中できないデメリットもあるが。
• 内容：代数系を入れるのが難しくなってしまっている。前からの問題でもあるが、短い時間で何を盛り込むか、明確にしがほうが良いであろう。整数の整除と Ｚ_ｎ の加法と、乗法までだろうか。
• コミュニケーション・ツール：NetCommons を利用したが、あまり利用率は高くなかったように思う。このチャンネルを通しての質問は、学生一人一人の学習環境に大きく依存する。状況を見極めながら進んでいくのが良いだろう。
• やはり最後の濃度が難しいので、そこでの困難を克服できるような演習問題を早い時期から加えて準備できるような工夫が必要だと感じる。多少入りくんだ問題は、ｎを法とした計算と、濃度に関することだけに限定することも、一つかも知れない。むろんマイナスもあるが。

２０１０年度授業の反省点

• ２００９年度は、特別研究期間で担当せず。
• 「証明の楽しみ（基礎編）」を今年は教科書に指定しなかった。日本語訳に問題を感じたからだが、教科書を何も指定しなかったのは、やはりマイナスだったと思う。証明を書く練習という意味でも、日本語に固執していたが、日本語の良い教科書が無い以上、英語の教科書を模索するのも必要と思われる。または、日本語の教科書で近い者をみつけ、補充することを考えるか、来年度の課題。
• 講義・講義ノート：一年空いていたこともあり、あまりチェックせずに使ってしまったが、大幅改善が必要。問題のリストとの整合性も現在は、ほとんど無い。今年の夏休みに何日か使って、修正しておくことが望ましい。
• 宿題・演習・小テスト：今年は、小テストを実施しなかった。受講生が極端に減ったため、問題をカバーする必要を感じたからだ。小テストのシステムも捨てがたく、どのようにするかはむずかしい。いずれにしても、問題を整備して、そのうち、どの問題は、必ず全員が解くもの、どの問題は、演習でかならずカバーするもの、そして残りは、人数に応じて割り当てる者と整備した中で、考えなければいけない。現状はあまりに未整備。
• コミュニケーション・ツール：NetCommons を利用したが、あまり利用率は高くなかったように思う。このチャンネルを通しての質問は、学生一人一人の学習環境に大きく依存する。状況を見極めながら進んでいくのが良いだろう。しかし、信頼関係を築くためには、このようなツールはやはり捨てがたい。
• やはり最後の濃度が難しいので、そこでの困難を克服できるような演習問題を早い時期から加えて準備できるような工夫が必要だと感じる。多少入りくんだ問題は、ｎを法とした計算と、濃度に関することだけに限定することも、一つかも知れない。むろんマイナスもあるが。

２０１１年度授業の反省点

• 「証明の楽しみ（基礎編）」の原著を教科書に指定した。国際版を安価で入手できたこともあり、英語版に踏み切った。証明を書く練習であるにもかかわらず、英語であることに不安があった。日本語が入っても構わないと伝えておいてが、何人か英語も得意でかつ数学的にも優秀な学生がいたからもあるが、学生は積極的に英語で証明を書いてくれた。しかし、一人、期末試験でのコメントで、日本語の教科書が良かったと書いた学生もいた。言語にもう少し配慮したほうが良かったと思う。来年度の課題。
• 講義ノートを英語でつくりながら進めていくのは、良い問題を宿題と演習に選択することも含めて、十分な質でできたとは言えない。演習は学生の人数によって変わるので難しい。今年は、宿題は一回１０問、それ以外に、１章ごとに、一人一問ずつ、合計で１１問指定した。受講生が１３人＋聴講生１人＝１４人では適切な問題数だったと思う。人数がもう少し増えたときにどのように運営するかは課題。
• 講義をまず７０分行う予定だったが、５・６・７時限であったこともあり、６時限目初めまで講義が続くことが常態になってしまった。数学の講義が７０分以上続くのは集中力を持ち続けることにも問題があるだろう。期末試験の時のコメントでもそのようなものがあった。今回は教科書も新しくしたため、難しかった面もある。よく整理して、７０分で終わる工夫が必要である。
• コミュニケーション・ツール、Moodle を利用したが、Upload も十分でなく、利用も多くなかった。相互作用で課題を残した。ただ、人数からすると、Moodle が良いかどうかは検証も必要。同時に、一週間に１回の授業と考えると、授業の無い日にどのようにコミュニケーションを取るかが、機能できず、それが、十分サポートが出来なかったことにもつながった嫌いがある。
• 同値類、モジュロの計算の利用、関数の理論、濃度の理論が難しい。そこに入るまでの集合と論理、直接証明と対偶による証明、存在証明と反例、数学的帰納法に、４回かけているのは、もうすこし、省略した方が良いかも知れない。少なくとも、講義の時間は増やした方がよいかも知れない。期末試験でも関数以降の主要部分を十分理解できていない学生が続出してしまったのは、明らかに問題。ただ、学生の背景に幅も広く、ある程度ゆっくりスタートしたことが、みながある程度安心感をもって、ついてくることにつながった面もある。反省点は多い。